\subsection{平行四边形、三角形、梯形的面积}\label{subsec:czjh1-5-2}

\begin{enhancedline}

\subsubsection{平行四边形的面积。}

已知 $\pxsbx ABCD$， 从一个顶点 $B$ 作边 $CD$ 的垂线 $BE$，垂足为 $E$，
以 $AB$、$BE$ 为邻边作矩形 $ABEF$ （图 \ref{fig:czjh1-5-6}）。

\begin{wrapfigure}[6]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch5-06}
    \caption{}\label{fig:czjh1-5-6}
\end{wrapfigure}

$\because$ \quad $\triangle ADF \quandeng \triangle BCE$，（为什么？）

$\therefore$ \quad $S_{\pxsbx ABCD} = S_{\text{矩形} ABEF}$。

$\therefore$ \quad $S_{\pxsbx ABCD} = AB \cdot BE$。

我们把平行四边形的一条边叫做它的\zhongdian{底}，
这条边和对边的距离叫做它这个底上的\zhongdian{高}。
于是得到下面的定理：

\begin{dingli}[定理]
    平行四边形的面积等于它的底 $a$ 和高 $h$ 的积。
\end{dingli}

\begin{center}
    \framebox[10em]{\zhongdian{$\bm{
        S_{\text{平行四边形}} = ah
    }$}。}
\end{center}

\begin{tuilun}[推论]
    等底等高的平行四边形的面积相等。
\end{tuilun}

例如，在图 \ref{fig:czjh1-5-7} 中， $S_{\pxsbx ABCD} = S_{\pxsbx ABEF}$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-07}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-7}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-08}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-8}
    \end{minipage}
\end{figure}

\subsubsection{三角形的面积。}

已知 $\triangle ABC$，$CH$ 是高。 以 $AB$、$AC$ 为邻边作 $\pxsbx ABDC$， $BC$ 是对角线（图 \ref{fig:czjh1-5-8}）。

$\because$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle DCB$，

$\therefore$ \quad $S_{\triangle ABC} = \exdfrac{1}{2} S_{\pxsbx ABDC}$。

$\because$ \quad $\triangle ABC$ 与 $\pxsbx ABDC$ 的底和高相同，由平行四边形面积定理，得
$$ S_{\triangle ABC} = \exdfrac{1}{2} S_{\pxsbx ABDC} = \exdfrac{1}{2} AB \cdot CH \juhao $$

由此我们得到下面定理：

\begin{dingli}[定理]
    三角形的面积等于它的底 $a$ 与高 $h$ 的积的一半。
\end{dingli}

\begin{center}
    \framebox[10em]{\zhongdian{$\bm{
        S_{\text{三角形}} = \exdfrac{1}{2} ah
    }$}。}
\end{center}


\begin{tuilun}[推论1]
    等底等高的三角形面积相等。
\end{tuilun}

例如，在图 \ref{fig:czjh1-5-9} 中，$AB \pingxing EC$， 有 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABE}$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-09}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-9}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-10}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-10}
    \end{minipage}
\end{figure}

如图 \ref{fig:czjh1-5-10}， 菱形 $ABCD$ 被对角线 $AC$，$BD$ 分成四个全等的直角三角形。
它们的底和高都分别是两条对角线的一半，利用三角形的面积可得：

\begin{tuilun}[推论2]
    菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半。
\end{tuilun}


\subsubsection{梯形的面积。}

已知梯形 $ABCD$， 高为 $DH$（图 \ref{fig:czjh1-5-11}）。
作对角线 $BD$ 把梯形分为两个三角形 $ABD$、$BCD$。
显然，这两个三角形的高都等于 $DH$。于是由三角形面积定理得，

$S_{\text{梯形} ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \exdfrac{1}{2} AH \cdot DH = \exdfrac{1}{2} CD \cdot DH = \exdfrac{1}{2} (AB + CD) DH$。

\begin{wrapfigure}[6]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch5-11}
    \caption{}\label{fig:czjh1-5-11}
\end{wrapfigure}

于是，我们得到下面定理：

\begin{dingli}[定理]
    梯形面积等于它的两底 $a$、$b$ 的和与高 $h$ 的积的一半。
\end{dingli}

\begin{center}
    \framebox[12em]{\zhongdian{$\bm{
        S_{\text{梯形}} = \exdfrac{1}{2} (a + b) h
    }$}。}
\end{center}

\begin{tuilun}[推论]
    梯形面积等于它的中位线长与高的积。
\end{tuilun}

由于任意多边形都可以看作是若干个平行四边形、三角形、梯形组成的，
而平行四边形、三角形、梯形的面积都可以计算，所以任何多边形的面积，
都可以变为这些图形的面积和或差来计算。


\liti 如图 \ref{fig:czjh1-5-12}， 有一块土地 $ABCD$， 顶点 $B$、$C$ 到一条长边 $AD$ 的垂线段为 $BN$、$CQ$，
已测得 $BN$、$CQ$、$AQ$、$ND$ 的长。将这块土地的面积用这些条件表示出来。

\jie 在多边形 $ABCD$ 中，垂线段 $BN$、$CQ$ 将多边形 $ABCD$ 分为三角形和梯形，所以

$\begin{aligned}
      & S_{\text{多边形} ABCD} = S_{\triangle ABN} + S_{\text{梯形} BCQN} + S_{\triangle CDQ} \\
    = & \exdfrac{1}{2} AN \cdot BN + \exdfrac{1}{2} (BN + CQ) \cdot NQ + \exdfrac{1}{2} QD \cdot CQ \\
    = & \exdfrac{1}{2} BN \cdot (AN + NQ) + \exdfrac{1}{2} CQ \cdot (NQ + QD) \\
    = & \exdfrac{1}{2} (BN \cdot AQ + CQ \cdot ND) \juhao
\end{aligned}$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-12}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-12}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-13}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-13}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 将已知四边形 $ABCD$ 变为面积相等的三角形。

已知： 四边形 $ABCD$（图  \ref{fig:czjh1-5-13}）。

求作： 一个三角形与四边形  $ABCD$ 面积相等。

分析： 从点 $D$ 引对角线把四边形分成两个三角形，如果能把其中一个三角形变为与它面积相等的三角形，
并且有一边在另一个三角形的一边的延长线上，问题就解决了。

\zuofa 1. 连结对角线 $DB$。

2. 过顶点 $C$ 作 $CC'$ 平行于 $DB$， 与 $AB$ 的延长线交于点 $C'$。

3. 连结 $DC'$。

$\triangle ADC'$ 就是所求的三角形。

\zhengming 根据等底等高的三角形面积相等，按作法

$\because$ \quad  $CC' \pingxing BD$，

$\therefore$ \quad $S_{\triangle BDC} = S_{\triangle BDC'}$。

$\because$ \quad $S_{\text{四边形} ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC}$，

$\therefore$ \quad $\begin{aligned}[t]
    S_{\text{四边形} ABCD}  &= S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC'} \\
                    &= S_{\triangle ADC'} \juhao
\end{aligned}$


\begin{lianxi}

\xiaoti{求证：平行四边形的两条对角线把它分成四个面积相等的三角形。}

\xiaoti{$\triangle ABE$ 与矩形 $ABCD$ 有公共边 $AB$， 顶点 $E$ 在矩形的边 $CD$ 或其延长线上。\\
    求证：$S_{\triangle ABE} = \exdfrac{1}{2} S_{\text{矩形} ABCD}$。
}

\xiaoti{一个等腰梯形的下底 18 cm、高 $4\sqrt{3}$ cm、腰长为 8 cm， 腰与下底成 $60^\circ$ 角，求它的面积。}

\xiaoti{连结三角形各边中点所成的三角形的面积，是原三角形面积的几分之几？}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

